тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам:

I - это определитель Якоби, имеющий вид:

аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле,

Связь сферических и декартовых координат:

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

- угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

- угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

r - расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки);

Переход к сферическим координатам осуществляется функциями

Теорема 1 о переходе к сферическим координатам Пусть - непрерывно дифференцируемые и пусть - непрерывная на функция. Тогда

Уравнение области внутри цилиндра переведем в цилиндрические координаты. Получаем:

По формуле момента инерции получим:

Найти момент инерции по оси z площади поверхности, которая лежит ниже параболоида , внутри цилиндра , над плоскостью Оxy и имеет формулу распределения плотности .

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом:

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Вычисление двойных и тройных интегралов с помощью математического пакета Maple